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我们通过OLS估计量得到了一元线性回归的两个参数估计量，具体表达式如下：
[\hat\beta_1 = \frac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^2}, \quad \hat\beta_0 = \bar Y - \hat\beta_1 \bar X.]
回归模型的总体形式为：
[Y = \beta_0 + \beta_1 X + \mu,]
其中误差项(\mu)服从正态分布(N(0, \sigma^2))。这种正态性使得我们能够利用数理统计的方法，获得参数估计量的优良性质，包括区间估计和假设检验。
OLS估计量具有最佳线性无偏估计(Best Linear Unbiased Estimator, BLUE)的性质，这意味着估计量满足以下三个条件：
我们可以通过以下步骤验证估计量的线性性：
[\hat\beta_1 = \sum_{i=1}^n k_i Y_i,]
其中(k_i = \frac{x_i}{\sum x_i^2})。
[\hat\beta_0 = \sum_{i=1}^n w_i Y_i,]
其中(w_i = \frac{1}{n} - \bar X k_i)。
因此，(\hat\beta_0)和(\hat\beta_1)都可以表示为(Y_i)的线性组合，进一步说明估计量的线性性。
通过计算期望值，我们可以验证估计量的无偏性：
[\mathbb E(\hat\beta_1) = \beta_1, \quad \mathbb E(\hat\beta_0) = \beta_0.]
由于估计量的均值等于真实参数值，说明估计量是无偏的。
为了证明估计量的最小方差性，我们可以构造一个线性无偏估计量(\hat\beta_1^* = \hat\beta_1 + \sum_{i=1}^n d_i Y_i)，并证明其方差不小于估计量的方差(\mathbb D(\hat\beta_1))。
通过计算方差差异，可以得出：
[\mathbb D(\hat\beta_1^*) \geq \mathbb D(\hat\beta_1).]
因此，(\hat\beta_1)是最小方差的线性无偏估计量。
在正态性假定下，参数估计量的分布已知：
[\hat\beta_1 \sim N\left(\beta_1, \frac{\sigma^2}{\sum x_i^2}\right),][\hat\beta_0 \sim N\left(\beta_0, \frac{\sum X_i^2}{n \sum x_i^2} \sigma^2\right).]
为了进行参数估计，我们需要估计误差项的方差(\sigma^2)。通过计算残差平方和，可以得到无偏估计量：
[\hat\sigma^2 = \frac{\sum e_i^2}{n-2}.]
基于估计的方差和假设检验，我们可以构造参数的置信区间。例如，(\hat\beta_1)的置信区间为：
[\left[\beta_1 - \frac{\hat\sigma}{\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n \sum x_i^2}}}, \beta_1 + \frac{\hat\sigma}{\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n \sum x_i^2}}}\right].]
假设检验的核心是验证参数的估计值是否与假设值存在显著差异。通过枢轴量和分布特性，我们可以构造检验统计量，并根据其分布来判断是否拒绝原假设。
例如，对于(\beta_1)的假设检验：
[H_0: \beta_1 = 0 \quad \leftrightarrow \quad H_1: \beta_1 \neq 0,]
我们构造枢轴量：
[\frac{\hat\beta_1}{\sqrt{\frac{\hat\sigma^2}{\sum x_i^2}}} \sim t(n-2).]
观测值(t_0)与假设检验统计量的比较可以得出结论：
通过实际数据计算，我们得到了回归方程：
[Y = 1.3269X - 160.5962.]
残差平方和为354.4404，误差项方差估计值为：
[\hat\sigma^2 = \frac{354.4404}{8-2} = 59.0734.]
回归结果表明，斜率和截距都得到了统计学上显著的估计值。具体分析包括：
通过这些结果，我们可以判断回归模型的效果，并进一步分析变量间的关系。
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